Question

如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D. 點(diǎn)P、Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x(s)。

1.（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ⊥AC， x為何值時(shí)，PQ⊥AB；

2.（2）設(shè)△PQD的面積為y(cm²)，當(dāng)0<x<2時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

3.（3）當(dāng)0<x<2時(shí)，求證：AD平分△PQD的面積。

 

Answer 1

【答案】

 

1.1）

解：當(dāng)Q在AB上時(shí)，顯然PQ不垂直于AC. 當(dāng)Q在AC上時(shí)，

由題意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x，∵AB=BC=CA=4  ∴∠C=60°；

若PQ⊥AC，則有∠QPC=30°，∴PC=2CQ，∴4-x=2×2x,  ∴，

當(dāng)（Q在AC上）時(shí)，PQ⊥AC，………2分

 

如圖：①當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，BP=x，BQ=，AC+AQ=2x，                  ∵AC=4，∴AQ=2x-4，∴ 

 ∴，故時(shí)PQ⊥AB. ………4分

2.（2）

解：如圖②，當(dāng)0<x<2時(shí)，P在BD上，Q在AC上，

過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC于H，∵∠C=60°，QC=2x，

∴QH=QC×sin60°=x

，∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∴DP=2-x，………5分

∴………6分

3.（3）當(dāng)0<x<2時(shí)，在Rt△QHC中，QC=2x，∠C=60°，

 ∴HC=x∴BP=HC，∴BD=CD， ∴DP=DH

∵AD⊥BC，QH⊥BC   ∴AD∥QH，

∴OP=OQ ∴ 

 ∴AD平分△PQD的面積………7

【解析】略