Question

23、如圖，在直角三角形ABC中，CM是斜邊AB上的中線，MN⊥AB，∠ACB的平分線CN交MN于N，求證：CM=MN．

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AM=CM，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)可得∠CMB=2∠ACM，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得到∠MCN=∠N，由等角對(duì)等邊即可得到結(jié)論．

解答：證明：∵CM是斜邊AB上的中線，
∴AM=CM，
∴∠A=∠ACM，
∵CN是Rt∠ACB的角平分線，
∴∠ACN=45°，
∴∠MCN=45°-∠ACM，
∵∠CMB是△AMC的外角，
∴∠CMB=2∠ACM，
∵M(jìn)N⊥AB，
∴∠CMN=90°+2∠ACM，
∵∠CMN+∠N+∠MCN=180°，
∴∠N=45°-∠ACM，
∴∠MCN=∠N，
∴CM=MN．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查：（1）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．