Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∠B=2∠E．
（1）求證：AB=DC；
（2）若tanB=2，AB=

5

，求邊BC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵DE∥AC，
∴∠BCA=∠E．（1分）
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCD=2∠BCA，（1分）
∴∠BCD=2∠E，（1分）
又∵∠B=2∠E，
∴∠B=∠BCD．（1分）
∴梯形ABCD是等腰梯形，即AB=DC．（2分）

（2）如圖，作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分別為F，G，則AF∥DG．
在Rt△AFB中，tanB=2，∴AF=2BF．（1分）
又∵AB=

5

，且AB²=AF²+BF²，
∴5=4BF²+BF²，得BF=1．（1分）
同理可知，在Rt△DGC中，CG=1．（1分）
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB．
又∵∠ACB=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC．∵DC=AB=

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，∴AD=

5

．（1分）
∵AD∥BC，AF∥DG，∴四邊形AFGD是平行四邊形，∴FG=AD=

5

．（1分）
∴BC=BF+FG+GC=2+

5

．（1分）