Question

（2010•盧灣區(qū)一模）如圖，矩形ABCD中，AB=3，，E為BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿AE翻折，使點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線AC上，記作B′．
（1）求BE的長；
（2）連接DB'，求cot∠B′DC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ABC中，通過解直角三角形，可求得BC、AC的長；根據(jù)折疊的性質(zhì)知BE=B′E，AB=AB′=3；可用BE分別表示出B′E和EC，即可在Rt△B′EC中，根據(jù)勾股定理求得BE的長；
（2）過B′作B′F⊥CD于F，易證得△CFB′∽△CDA，即可由相似三角形所得比例線段求出B′F和CF的長，進(jìn)而可求得DF的長，在Rt△B′DF中，已知了B′F和DF的長，即可求得cot∠BDC的值．
解答：解：（1）矩形ABCD中，∠B=90°，
∴，∴；（2分）
由翻折得B'E=BE，∠EB'C=90°；
在Rt△EB'C中，；
設(shè)BE=x，則EC=4-x，∴，（1分）
解得
∴BE的長為；（2分）

（2）過點(diǎn)B'作B'F⊥CD，垂足為F；（1分）
∵矩形ABCD中，∠D=90°，
∴∠B'FC=∠D=90°，∴B'F∥AD；（1分）
∴，∴，；（2分）
在Rt△B'FD中，．（1分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的折疊變換、勾股定理的應(yīng)用以及銳角三角函數(shù)的定義等重要知識(shí)，難度適中．