Question

如圖，四邊形OABC中，CB∥OA，∠OCB=90?，CB=1，OA=OC，O為坐標原點，點A在x軸上，點C在y軸上，直線y=-

1

2

x+1過A點，且與y軸交于D點．
（1）求出A、點B的坐標；
（2）求證：AD=BO且AD⊥BO；
（3）若點M是直線AD上的一個動點，在x軸上是否存在另一個點N，使以O、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：存在型

分析：（1）根據(jù)直線解析式，令y=0求出x的值，即可得到點A的坐標，過點B作BF⊥AO于F，可得四邊形BCOF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等得到OF=BC=1，從而求出AF的長度，再根據(jù)勾股定理求出BF的長度，點B的坐標即可得到；
（2）根據(jù)直線的解析式求出點D的坐標，得到CD=1，根據(jù)矩形的對邊相等，OC=2，然后利用邊角邊證明△AOD與△OCB全等，從而得到AD=BO，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠OAD=∠COB，根據(jù)∠COB+∠AOB=90°可得∠OAD+∠AOB=90°，從而得到∠AEO=90°，得證；
（3）根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得BM∥AN且BM=AN，令y=2求出點M的坐標，從而得到BM的長度，再分點N在點O的左邊與右邊、點N關于A的對稱點三種情況討論求出點N的坐標．

解答：解：（1）當y=0時，-

1

2

x+1=0，
解得x=2，
∴點A的坐標是（2，0），
∴AO=2，
∵OA=OC，
∴OC=2，
過點B作BF⊥AO于F，則四邊形BCOF是矩形，
∴OF=BC=1，
∴點B的坐標為（1，2）；

（2）當x=0時，y=-

1

2

×0+1=1，
∴點D的坐標為（0，1），
∴OD=BC=1，
根據(jù)（1）的結(jié)論，四邊形BCOF是矩形，
∴OC=BF=2，
∴AO=OC=2，
在△AOD與△OCB中，

OD=BC ∠AOD=∠OCB=90° AO=OC

，
∴△AOD≌△OCB（SAS），
∴AD=BO
∴∠OAD=∠COB，
∵∠COB+∠AOB=90°，
∴∠OAD+∠AOB=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AD⊥BO；

（3）存在．
∵點N在x軸上，O、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴BM∥x軸，且BM=ON，
根據(jù)（1），點B的坐標為（1，2），
∴-

1

2

x+1=2，
解得x=-2，
∴點M的坐標為（-2，2），
∴BM=1-（-2）=1+2=3，
①點N在點O的左邊時，ON=BM=3，
∴點N的坐標為（-3，0），
②點N在點O的右邊時，ON=BM=3，
∴點N的坐標為（3，0），
③作N（-3，0）關于A對稱的點N′，則N′也符合，
點N′的坐標是（7，0），
綜上所述，點N的坐標為（-3，0）或（3，0）或（7，0）．

點評：本題是對一次函數(shù)的綜合考查，主要有坐標與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強，但難度不大，只有仔細分析題目，理清數(shù)量關系便不難解決．