Question

2．在邊長為4cm的正方形ABCD中，點(diǎn)G是射線CB上的一點(diǎn)，E、F為直線AG上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE、BF．
（1）當(dāng)DE⊥AG，BF⊥AG時(shí)，探索線段AF、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系式，并證明．
（2）若點(diǎn)G在邊BC上且BG=3cm，點(diǎn)E從A點(diǎn)以2cm/s的速度向G運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)G以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，（一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止），問當(dāng)它們運(yùn)動(dòng)了多少秒后，S_△DEF與S_△BEF的差為$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 （1）判定△ABF≌△DAE（AAS），即可得出AE=BF，再根據(jù)AF=AE+EF，即可得到AF=BF+EF；
（2）設(shè)△BEF中，EF邊上的高為BP，△DEF中，EF邊上的高為DQ，則BP=$\frac{12}{5}$，DQ=AP=$\frac{16}{5}$，再根據(jù)S_△DEF與S_△BEF的差為$\frac{8}{5}$，即可得出EF=4，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，根據(jù)線段的和差關(guān)系列出方程，求得t的值．

解答 解：（1）AF=BF+EF．
理由：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=DA，∠DAB=90°，
又∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AFB=∠DEA=90°，∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠DEA}\\{∠BAF=∠ADE}\\{AB=DA}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE=BF，
又∵AF=AE+EF，
∴AF=BF+EF；

（2）∵BG=3cm，AB=4cm，
∴Rt△ABG中，AG=5cm，
如圖所示，設(shè)△BEF中，EF邊上的高為BP，△DEF中，EF邊上的高為DQ，則
BP=$\frac{AB×BG}{AG}$=$\frac{12}{5}$，DQ=AP=$\sqrt{A{B}^{2}-B{P}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∵S_△DEF與S_△BEF的差為$\frac{8}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$×EF×（DQ-BP）=$\frac{8}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$×EF×（$\frac{16}{5}$-$\frac{12}{5}$）=$\frac{8}{5}$，
∴EF=4，
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
在E，F(xiàn)相遇之前，AG-AE-GF=EF，
∴5-t-2t=4，
解得t=$\frac{1}{3}$；
在E，F(xiàn)相遇之后，AE+GF-AG=EF，
∴t+2t-5=4，
解得t=3；
又∵5÷2=2.5s，
∴t≤2.5，
∴t=3不合題意，
故t的值為$\frac{1}{3}$s．

點(diǎn)評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算．解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．