Question

8．如圖，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-x+1的頂點A在x軸上，與y軸交于B，延長AB至C，使BC=2AB，將拋物線向左平移n個單位，使拋物線與線段AC總有兩個交點，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出A點和B點坐標作CH⊥x軸于H點，如圖，再利用平行線分線段成比例定理求出AH和CH的長，從而得到C點坐標，拋物線y=$\frac{1}{4}$（x-2）²向左平移n個單位所的拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-2+n）²，由于拋物線y=$\frac{1}{4}$（x-2-n）²第一次經過點C之前，拋物線與線段AC總有兩個交點，所以把C點坐標代入y=$\frac{1}{4}$（-4-2+n）²得n的最大值，從而可確定n的范圍．

解答 解：y=$\frac{1}{4}$x²-x+1=$\frac{1}{4}$（x-2）²，則A（2，0），B（0，1），
作CH⊥x軸于H點，如圖，
∵OB∥CH，
∴$\frac{OB}{CH}$=$\frac{OA}{AH}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴CH=3，AH=6，
∴C（-4，3），
∵拋物線y=$\frac{1}{4}$（x-2）²向左平移n個單位所的拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-2+n）²，
當拋物線y=$\frac{1}{4}$（x-2-n）²第一次經過點C時，$\frac{1}{4}$（-4-2+n）²=3，解得n=6+2$\sqrt{3}$（舍去）或n=6-2$\sqrt{3}$，
∴當平移后的拋物線與線段AC總有兩個交點時，n的范圍為0≤n≤6-2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．解決本題的關鍵是求出C點坐標．