Question

11．關(guān)于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²+1=0．
（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）設(shè)x₁，x₂分別是方程的兩個(gè)根，且滿足x₁²+x₂²=x₁x₂+10，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有兩實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到x₁+x₂=2m-1，x₁•x₂=m²+1，再把x₁²+x₂²=x₁x₂+10利用完全平方公式變形為（x₁+x₂）²-3x₁•x₂=10，然后代入計(jì)算即可求解．

解答 解：（1）由題意有△=（2m-1）²-4（m²+1）≥0，
解得m≤-$\frac{3}{4}$，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤-$\frac{3}{4}$；

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=2m-1，x₁•x₂=m²+1，
∵x₁²+x₂²=x₁x₂+10，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=x₁x₂+10，
∴（2m-1）²-3（m²+1）=10，
∴2m²+9m-5=0，
解得m₁=6，m₂=-2，
∵m≤-$\frac{3}{4}$，
∴m=6舍去，
∴m=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系，利用兩根關(guān)系得出的結(jié)果必須滿足△≥0的條件．