Question

如圖，點O（0，0），B（0，1）是正方形OBB₁C的兩個頂點，以對角線OB₁為一邊作第二個正方形OB₁B₂C₁，再以正方形OB₁B₂C₁的對角線OB₂為一邊作第三個正方形OB₂B₃C₂，…，依次下去．
（1）求n個正方形的邊長；
（2）求點B₅，B₆的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）直接利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理就可以求出第1個正方形的邊長，依次可以求出第2個正方形的邊長為

2

，第三個正方形的邊長為2

2

，第四個正方形的邊長為4，依此類推就可以求出第n個正方形的邊長；
（2）再利用四邊形OBB₁C是正方形和B點的坐標(biāo)就可以求出B₁（1，1），再由勾股定理就可以求出B₂（2，0），依次根據(jù)點B的位置變化可以求出B₃（2，-2），B₄（0，-4），B₅（-4，-4），B₆（-8，0），從而求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵四邊形OBB₁C是正方形，
∴OC=OB=CB₁．
∵O（0，0），B（0，1），
∴OB=1，
在Rt△OBB1中由勾股定理得：
OB₁=

2

，
∴第2個正方形的邊長為：

2

；
由勾股定理可以得出：
第3個正方形的邊長為：2=（

2

）²，
第4個正方形的邊長為：2

2

=（

2

）³，
第5個正方形的邊長為：4=（

2

）⁴，
…
第 n個正方形的邊長為：（

2

）^n-1．
（2）∵正方形OBB₁C，OB=1，
∴由勾股定理，得
OB₁=

2

，B₁在第一象限；
∴OB₂=（ 

2

 ）²=2，B₂在x軸正半軸；
∴OB₃=（ 

2

）³，B₃在第二象限；
∴OB₄=（

2

）⁴，B₄在y軸負(fù)半軸；
∴OB₅=（

2

）⁵，B₅在第三象限；
∴OB₆=（

2

）⁶=8，B₆在x軸負(fù)半軸．
∴B₅（-4，-4），B₆（-8，0）．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，坐標(biāo)于圖形的性質(zhì)的性質(zhì)的運用，解答時尋找線段長度的變化規(guī)律是關(guān)鍵．