Question

如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2，OC=3，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥BC，交OA于點(diǎn)D．將∠DBC繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸

1.求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

2.當(dāng)BE經(jīng)過(guò)（1）中拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求CF的長(zhǎng)；

3.在拋物線的對(duì)稱軸上取兩點(diǎn)P、Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方），且PQ=1，要使四邊形BCPQ的

周長(zhǎng)最小，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)

 

Answer 1

 

1.由題意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）．設(shè)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+2．

則 4a+2b+2=2，    9a+3b+2=0   ，

解得 a= ，b=    ，

∴y=

2.由y==．

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為G（1， ）．

過(guò)G作GH⊥AB，垂足為H．

則AH=BH=1，GH=-2=．

∵EA⊥AB，GH⊥AB，                             

∴EA∥GH．

∴GH是△BEA的中位線．

∴EA=2GH= ．

過(guò)B作BM⊥OC，垂足為M．則MB=OA=AB．

∵∠EBF=∠ABM=90°，

∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF．

∴Rt△EBA≌Rt△FBM．

∴FM=EA=．

∵CM=OC-OM=3-2=1，

∴CF=FM+CM= ．

3.要使四邊形BCGH的周長(zhǎng)最小，

將B向下平移一個(gè)單位至K，取C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)M．

連接KM交對(duì)稱軸于P，將P向上平移1個(gè)單位至Q，

可使KP+PM最短．則QPKB為平行四邊形．

QB=PK，

連接CP，軸對(duì)稱求出CP=MP，

則CP+BQ最小，

因?yàn)镃B，QP定值，則四邊形最短，

得點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（-1，1）．可求出直線BC1的解析式為y=x+ ．

直線y= x+ 與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，坐標(biāo)為Q（1，）．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1， ）．

 解析:此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題目，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及利用三角形中位線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．