Question

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6厘米，BC=8厘米，動點P從點A開始在線段AC上以1厘米/秒的速度向點C移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以2厘米/秒的速度向點A移動，當一個動點先運動到終點時，整個運動過程結(jié)束．設(shè)點P、Q移動的時間為t秒．
（1）設(shè)△APQ的面積為y（厘米²），請你求出y與t的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量t的取值范圍，并求出當t為何值時，△APQ的面積最大；
（2）在整個運動過程中，是否會存在以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請你求出此時t的值；若不存在，請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件求出AB的長，再過點Q作QH⊥AC，交AC與點H，的長△QHA∽△BCA，求出

QH

BC

=

AQ

AB

，即可求出QH的值，最后求S_△APQ的值；
（2）存在在以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，此小題要分兩種情況進行討論，①當∠APQ=90°時，△APQ∽△ABC，求出t的值；②當∠PQA=90°時，△APQ∽△ABC，求出t的值，經(jīng)檢驗它們都符合題意即可．

解答：解：（1）∵BC=8，AC=6，得AB=10，
∴AP=t，CP=6-t，BQ=2t，AQ=10-2t，
過點Q作QH⊥AC，交AC與點H，
∴△QHA∽△BCA，
∴

QH

BC

=

AQ

AB

，
∴

QH

8

=

10-2t

10

，
∴QH=8-

8

5

t，
∴S_△APQ=

1

2

AP•QH=

1

2

t（8-t）=4t-

4

5

t²；
當t=

4

4 5 ×2

=

5

4

時，面積有最大值，是4×

5

4

-

4

5

×（

5

4

）²=5-

5

4

=

15

4

；
（2）①當∠APQ=90°時，△APQ∽△ABC，
則

AQ

AB

=

AP

AC

，
∴

10-2t

10

=

t

6

，
∴t=

30

11

；
②當∠PQA=90°時，△APQ∽△ABC，
則

AQ

AC

=

AP

AB

，
則

10-2t

6

=

t

10

，
解得t=

50

13

，
當t為

30

11

或

50

13

時，經(jīng)檢驗，它們都符合題意，此時△AQP和△ABC相似，
故存在以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；此題運用函數(shù)的思想，列出函數(shù)表達式，再利用函數(shù)列出表達式代入數(shù)值進行求解，關(guān)鍵是第二問分兩種種情況進行討論，不要漏掉．