Question

18．在平面直角坐標系中，己知一次函數(shù)y=-x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，一個以點O為頂點的45°角∠EOF繞點O旋轉(zhuǎn)，交直線AB于點E、F，點F在點E的上方，且點E的橫坐標是a，點F的縱坐標是b，a＞0，b＞0．
（1）△AOF與△BOE是否一定相似？如果一定相似，請予以證明；如果不一定相似或者一定不相似，請說明理由．
（2）∠EOF繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關系式，并說明理由；
（3）求△OEF的面積（結(jié)果用a、b的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)點E，F(xiàn)的坐標確定出圖形的位置，然后分0＜a＜2和a＞2兩種情況，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出∠AOF=∠EBO，進而得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)點E，F(xiàn)，A，B的坐標確定出BE=$\sqrt{2}$a和AF=$\sqrt{2}$b，再利用（1）得出的相似得出比例式即可找出ab=2；
（3）分兩種情況利用三角形的面積的和差即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）△AOF∽△BEO；
理由：∵點E在直線y=-x+2上，且點E的橫坐標是a，
∴E（a，-a+2），
∵點F在直線y=-x+2上，且點F的縱坐標是b，
∴F（2-b，b），∵a＞0，b＞0，
當-a+2＞0，時，即：0＜a＜2時，
如圖1，∵一次函數(shù)y=-x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠BEO=∠OAB+∠AOE=45°+∠AOE，
∵∠EOF=45°，
∴∠AOF=∠EOF+∠AOE=∠45°+∠AOE，
∴∠AOF=∠AEO，
∵∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AOF∽△BEO；
當-a+2＜0時，即：a＞2時，
如圖2，∵一次函數(shù)y=-x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠BEO=∠OAB-∠AOE=45°-∠AOE，
∵∠EOF=45°，
∴∠AOF=∠EOF-∠AOE=∠45°-∠AOE，
∴∠AOF=∠AEO，
∵∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（2）ab=2；
理由：∵點E在直線y=-x+2上，且點E的橫坐標是a，
∴E（a，-a+2），
∵B（0，2），
∴BE=$\sqrt{{a}^{2}+（-a+2-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$a
∵點F在直線y=-x+2上，且點F的縱坐標是b，
∴F（2-b，b），
∵A（2，0），
∴AF=$\sqrt{（2-b-2）^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$b，
由（1）知，OA=OB=2，△AOF∽△BEO，
∴$\frac{OA}{BE}=\frac{AF}{OB}$，
∴$\frac{2}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}b}{2}$，
∴ab=2；
（3）當0＜a＜2時，由（1）知，OA=OB=2，
∴S_△OEF=S_△AOF-S_△AOE=$\frac{1}{2}$OA•|y_F|-$\frac{1}{2}$OA•|yE|=$\frac{1}{2}$OA（|y_F|-|yE|=$\frac{1}{2}$×2[b-（-a+2）]=a+b-2；
當a＞2時，由（1）知，OA=OB=2，
∴S_△OEF=S_△AOF+S_△AOE=$\frac{1}{2}$OA•|y_F|+$\frac{1}{2}$OA•|yE|=$\frac{1}{2}$OA（|y_F|+|yE|=$\frac{1}{2}$×2[b+（a-2）]=a+b-2；
即：△OEF的面積為a+b-2．

點評 此題是相似三角形的綜合題，主要考查了三角形的外角，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，解答（1）的關鍵是利用三角形的外角的性質(zhì)得出∠AOF=∠EBO，解答（2）的關鍵是求出AF=$\sqrt{2}$b，BE=$\sqrt{2}$a；畫出圖形是解本題的難點．