Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（5，0）．另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．
（1）求直線BC與拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求MN的最大值；
（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時(shí)，若點(diǎn)P在x軸上一點(diǎn)，以C、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△CMN相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組求出b、c的值，即可得到拋物線解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0），用直線BC的解析式和拋物線的解析式表示出MN的長(zhǎng)，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CNM+∠CMN=∠CBA=45°，然后判斷出∠CNM=∠CBP，由（2）求出求出CN的長(zhǎng)，再分①BP和CN是對(duì)應(yīng)邊，②BP和MN是對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BP，再求出OP，然后寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

5k+b=0 b=5

，
解得

k=-1 b=5

，
所以，直線BC的解析式為y=-x+5，
∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（5，0），C（0，5），
∴

25+5b+c=0 c=5

，
解得

b=-6 c=5

，
∴拋物線解析式為y=x²-6x+5；

（2）設(shè)M（m，0），則MN=（-m+5）-（m²-6m+5），
=-m²+5m，
=-（m-

5

2

）²+

25

4

，
∴當(dāng)m=

5

2

時(shí)，MN的最大值=

25

4

；

（3）∵∠CNM+∠CMN=∠CBA=45°，
∴∠CNM=∠CBP，
由勾股定理得，BC=

52+52

=5

2

，
由（2）得CN=

1

2

BC=

5 2

2

，
①BP和CN是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，△BPC∽△NCM，
∴

BP

CN

=

BC

MN

，
即

BP

5 2 2

=

5 2

25 4

，
解得BP=4，
∴OP=OB+BP=5+4=9，
點(diǎn)P₁（9，0），
②BP和MN是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，△BPC∽△NMC，
∴

BP

MN

=

BC

CN

，
即

BP

25 4

=

5 2

5 2 2

，
解得BP=

25

2

，
∴OP=OB+BP=5+

25

2

=

35

2

，
點(diǎn)P₂（

35

2

，0），
綜上所述，P₁（9，0），P₂（

35

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）要分情況討論．