Question

【題目】如圖，已知直線與軸、軸分別交于點、，點是軸上一動點，于點，點的坐標為.

（1）求直線的解析式；

（2）若，求點的坐標；

（3）當在軸負半軸時，連接、，分別取、的中點、，連接EF交PQ于點G，當OQ//BP時，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為或；（3）見解析.

【解析】

（1）根據待定系數(shù)法得出解析式即可,
（2）分兩種情況，利用相似三角形的判定和性質解答即可,
（3）連接QE，OE，利用相似三角形的判定和性質解答即可.

解：（1）∵直線經過點，

∴,

∴直線的解析式為.

（2）在中，令，則，

∴，

由（1）得：，，

在中，由勾股定理得：,

∵，∴,

①當點在軸的左側時，如圖1，

∵，，

∴，

又，

∴，

∴，

∴，

解得：，

∴，

∴點的坐標為.

②當點在軸的右側時，

同①可得：，

∴，

∴點的坐標為.

綜上，點的坐標為或.

（3）解法一：如圖2，連接、.

在中，是斜邊邊上的中線，

∴，同理，，

∴，即是等腰三角形.

又是的中線，

∴，

∴，

∵，

∴，

又，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴.

解法二：如圖3，連接、.

在中，是斜邊邊上的中線，

∴，同理，，

∴，即是等腰三角形，

又是的中線，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

延長至點，使得：，連接、，

∵為的垂直平分線，

∴，

∴①，

∵是的中點，，

∴為的垂直平分線，

∴，

∴②，

由①②可得：，又，

∴，

∴，

即，

又，

∴.