Question

（2013•丹東一模）如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），點D是拋物線的頂點，直線m經(jīng)過B、C兩點．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式及頂點D的坐標．
（2）若點E是線段BC上方的拋物線上的一個動點，過E點作EF⊥x軸，垂足為F，交線段BC于點G，設E點的坐標為（x，y），問EG是否存在最大值？如果存在，求出E點坐標及這個最大值；如果不存在，請說明理由．
（3）若P點是直線BC上的一個動點，且S_△ABP：S_△ACP=1：2，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進而利用配方法求出頂點坐標；
（2）首先表示出E，G點坐標，進而得出直線EG的解析式，進而求出最值以及E點坐標；
（3）利用S_△ABP：S_△ACP=1：2，則當P在線段BC上時，2BP=CP，當P在射線BC上時，PC=2BP，進而得出答案．

解答：解；（1）拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

，
∴函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²+2x+3，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點D的坐標為：（1，4）；

（2）設直線BC的函數(shù)關(guān)系是y=kx+z，
根據(jù)題意得出：

3k+z=0 z=3

，
解得：

k=-1 z=3

，
∴直線BC的函數(shù)關(guān)系是：y=-x+3，
設E（x，-x²+2x+3），則G（x，-x+3），
∴EG=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
∴當x=

3

2

時，EG有最大值，最大值為

9

4

，
當x=

3

2

時，y=-x²+2x+3=-

9

4

+

3

2

×2+3=

15

4

，
∴E點坐標為：（

3

2

，

15

4

）；

（3）根據(jù)題意得出：∵S_△ABP：S_△ACP=1：2，
∴當P在線段BC上時，2BP=CP，
∴此時P點橫坐標為：2，代入y=-x+3，
∴縱坐標為：1，
此時P點坐標為；（2，1）
同理可得出：當P在射線BC上時，PC=2BP，
此時P點橫坐標為：6，則縱坐標為：-3，
此時P點坐標為；（6，-3）
綜上所述：P點坐標為；（2，1）或（6，-3）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應用以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)最值求法等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出P點位置是解題關(guān)鍵．