Question

如圖，點(diǎn)O為正方形ABCD的對角線交點(diǎn)，PE⊥BC，求證：△APD∽△OEC．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定,正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=DC，∠DOC=∠DCB=90°，∠ADP=∠CDP=∠OCE=45°，證△ADP≌△CDP，推出∠DAP=∠DCP，求出∠DAP=∠EOC，根據(jù)相似三角形的判定推出即可．

解答：證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∠ADP=∠CDP=∠OCE=45°，AD=DC，
在△ADP和△CDP中，

AD=DC ∠ADP=∠CDP DP=DP

，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴∠DAP=∠DCP，
∵四邊形ABCD是正方形，PE⊥BC，
∴∠PEB=∠DCB=90°，
∴PE∥DC，
∴∠DCP=∠CPE=∠DAP，
∵四邊形ABCD是正方形，PE⊥BC，
∴∠DOC=∠PEC=90°，
∴P、O、E、C四點(diǎn)共圓，
∴∠EOC=∠CPE，
∴∠EOC=∠DAP，
∵∠ADP=∠OCE=45°，
∴△APD∽△OEC．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定定理，正方形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出∠EOC=∠DAP，∠ADP=∠OCE=45°，注意：①有兩個角對應(yīng)相等的兩三角形相似．