Question

如圖，一元二次方程x²+2x-3=0的兩根x₁，x₂（x₁＜x₂）是拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)C，B的橫坐標(biāo)，且此拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（3，6）．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為P，對(duì)稱(chēng)軸與線(xiàn)段AC相交于點(diǎn)G，則P點(diǎn)坐標(biāo)為

 

，G點(diǎn)坐標(biāo)為

 

；
（3）在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)MG+MA取得最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）可先根據(jù)一元二次方程求出x₁，x₂的坐標(biāo)，也就求出了B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可用交點(diǎn)式的二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)二次函數(shù)的解析式，根據(jù)已知的A點(diǎn)的坐標(biāo)求出二次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)（1）二次函數(shù)解析式可得出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸的解析式，G點(diǎn)就是直線(xiàn)AC與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，可先根據(jù)A，C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出AC所在直線(xiàn)的解析式，然后將P點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入求得的一次函數(shù)的解析式中即可求出G的坐標(biāo)．
（3）本題的關(guān)鍵是先確定M點(diǎn)的位置，可先做A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′然后連接A′C，與x軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)M，那么可根據(jù)A′，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出A′C所在直線(xiàn)的解析式，又已知了M在x軸上即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）解方程x²+2x-3=0
得x₁=-3，x₂=1．
∴拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：C（-3，0），B（1，0），
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x+3）（x-1）．
∵A（3，6）在拋物線(xiàn)上，
∴6=a（3+3）•（3-1），
∴a=

1

2

，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=

1

2

x²+x-

3

2

．

（2）由y=

1

2

x²+x-

3

2

=

1

2

（x+1）²-2，
∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-2），對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-1．
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b，
∵A（3，6），C（-3，0）在該直線(xiàn)上，
∴

3k+b=6 -3k+b=0

解得

b=3 k=1

，
∴直線(xiàn)AC的解析式為：y=x+3．
將x=-1代入y=x+3
得y=2，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2）．

（3）作A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′（3，-6），
連接A′G，A′G與x軸交于點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)．
設(shè)直線(xiàn)A′G的解析式為y=kx+b．
∴

3k+b=-6 -k+b=2

解得

b=0 k=-2

，
∴直線(xiàn)A′G的解析式為y=-2x，令x=0，則y=0．
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的方法．
（3）中先確定M點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．