Question

9．發(fā)現(xiàn)與探究：如圖，△ABC和△DCE中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=45°，點(diǎn)B、C、E三點(diǎn)共線，且BC：CE=2：1，連接AE、BD．
（1）在不添加輔助線和字母的情況下，請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形（用“≌”表示），并加以證明；
（2）求tan∠BDC的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS證明△BCD與△ACE全等即可；
（2）作AF⊥BE，利用三角函數(shù)進(jìn)行解答即可．

解答 解：（1）△BCD≌△ACE，
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
在△BCD與△ACE中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）作AF⊥BE，如圖：

∵BC：CE=2：1，
∴設(shè)BC=2k，CE=k，
在Rt△AFC中，AC=BC=2k，∠ACF=45°，
∴FC=AC•cos45°=2k×$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}k$，EF=FC+CE=$\sqrt{2}$k+k=（$\sqrt{2}$+1）k，
∵∠FAC=45°，
∴AF=$\sqrt{2}$k，
由（1）得△BCD≌△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
∴在Rt△AFE中，tan∠BDC=tan∠AEC=$\frac{AF}{FE}=\frac{\sqrt{2}k}{（\sqrt{2}+1）k}=2-\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明△BCD與△ACE全等．