Question

2．如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，DE是⊙O的切線，連結(jié)OD，OE
（1）求證：∠DEA=90°；
（2）若BC=4，寫出求△OEC的面積的思路．

Answer 1

分析 （1）連接OD，求出∠A=∠ODB，推出OD∥AC，即可得出答案；
（2）求出AD、CD，由Rt△AED中，∠A=30°，AD的長，得ED，AE進而求得EC由DE，AE的長得△DEC的面積由 OD∥AC，△DEC的面積和△OEC的面積相等，即可得出△OEC的面積．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，

∵△ABC 是等腰三角形，
∴CA=CB，
∴∠A=∠B，
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴AC⊥DE，
∴∠DE A=90°；

（2）解：連結(jié)CD，
由BC是直徑，得∠CDB=∠CDA=90°，

∵由 Rt△CDA中，BC=AC=4，∠A=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=2，AD=$\sqrt{3}$CD=2$\sqrt{3}$，
∵由Rt△AED中，∠A=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{3}$DE=3，
EC=AC-AE=1，
∴△EDC的面積=$\frac{1}{2}×DE×EC$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵OD∥AC，
∴△DEC的面積和△OEC的面積相等，
∴△OEC的面積是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，平行線的性質(zhì)和判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．