Question

11．如圖1，拋物線y=-x²-3x與直線y=-2x-2交于A、B兩點(diǎn)，過A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，直線AB交x軸于點(diǎn)D．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)H是線段BD上的一個動點(diǎn)，過H作HE∥y軸交拋物線于E點(diǎn)，連接OE、OH，當(dāng)HE=$\frac{3}{10}$AC時，求S_△OEH的值；
（3）如圖2，連接BO，CO及BC，設(shè)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段CO上任意一點(diǎn)，將△BFP沿邊PF翻折得到△GPF，求當(dāng)PC為何值時，△GPF與△CFO重疊部分的面積是△BCP面積的$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）列方程組可知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同，列方程可求得點(diǎn)C坐標(biāo)．
（2）如圖1中，設(shè)H（m，-2m-2），（-2＜m＜-1），則E（m，-m²-3m），根據(jù)HE=$\frac{3}{10}$AC，列出方程求出點(diǎn)H的橫坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式計算即可解決問題．
（3）分兩種情形①若翻折后，點(diǎn)G在直線OC下方時，連接CG．如圖2，可證四邊形PFCG是平行四邊形，得PB=PG=CF=$\sqrt{10}$，在Rt△PBO中，根據(jù)OP=$\sqrt{P{B}^{2}-B{O}^{2}}$即可解決問題．②若翻折后，點(diǎn)G在直線OC上方時，連接CG．如圖3，可證四邊形PFGC是平行四邊形，得PC=FG=BF=$\frac{1}{2}$BC即可解決問題．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-3x}\\{y=-2x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（1，-4），點(diǎn)B坐標(biāo)（-2，2），
∵AC∥x軸，
∴點(diǎn)C縱坐標(biāo)為-4，
由-x²-3x=-4，解得x=-4或1，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（-4，-4）．

（2）如圖1中，設(shè)H（m，-2m-2），（-2＜m＜-1），則E（m，-m²-3m），

由題意-m²-3m-（-2m-2）=$\frac{3}{10}$×5，
解得m=$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$或$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$（舍棄），
∴S_△OEH=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}-3}{8}$．

（3）∵B（-2，2），C（-4，-4），
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，OB=2$\sqrt{2}$，OC=4$\sqrt{2}$，
∵OB²+OC²=BC²，
∴∠BOC=90°．
①若翻折后，點(diǎn)G在直線OC下方時，連接CG．如圖2，

∵S_△PFL=$\frac{1}{4}$S_△PBC=$\frac{1}{2}$S_△PFC=$\frac{1}{2}$S_△PFG，
∴S_△PFL=S_△FCL=S_△PLG，
∴FL=LG．CL=LP，
∴四邊形PFCG是平行四邊形，
∴PB=PG=CF=$\sqrt{10}$，
在Rt△PBO中，OP=$\sqrt{P{B}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴PC=OC-OP=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$．

②若翻折后，點(diǎn)G在直線OC上方時，連接CG．如圖3，

∵S_△PFL=$\frac{1}{4}$S_△PBC=$\frac{1}{2}$S_△PFC=$\frac{1}{2}$S_△PFG，
∴S_△PFL=S_△FCL=S_△PLG，
∴FL=LG．CL=LP，
∴四邊形PFGC是平行四邊形，
∴PC=FG=BF=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{10}$，
綜上所述當(dāng)PC=3$\sqrt{2}$或$\sqrt{10}$時，△GPF與△CFO重疊部分的面積是△BCP面積的$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的綜合題、一次函數(shù)、待定系數(shù)法、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用方程組求兩個函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)，第三個問題中，判斷四邊形是平行四邊形是突破點(diǎn)，屬于中考壓軸題．