Question

【題目】已知：梯形中，，聯(lián)結(jié)（如圖1）. 點(diǎn)沿梯形的邊從點(diǎn)移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)移動(dòng)的距離為，.

（1）求證：；

（2）當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系（如圖2）中的折線所示. 試求的長；

（3）在（2）的情況下，點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)的過程中，是否可能為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出所有能使為等腰三角形的的取值；若不能，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3），，，，或

【解析】

（1）由平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABD=∠CDB，∠A+∠ADC=180°，∠ABD+∠CBD=90°，∠ABD=∠ADB，得出∠A+2∠ABD=180°，2∠ABD+2∠CBD=180°，即可得出結(jié)論；

（2）作DE⊥AB于E，則DE=BC=3，CD=BE，由勾股定理求出AE==4，得出CD=BE=AB-AE=1；

（3）分情況討論：①點(diǎn)P在AB邊上時(shí)；②點(diǎn)P在BC上時(shí)；③點(diǎn)P在AD上時(shí)；由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得出答案．

（1）證明：∵，

∴，

又∵，

∴

∵，

∴，即

∴

（2）解：由點(diǎn)，得，

由點(diǎn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是8，得時(shí)，∴

作于，∵，∴，

∵，∴

（3）

情況一：點(diǎn)在邊上，作，

當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，此時(shí)，，

∴

情況二：點(diǎn)在邊上，當(dāng)時(shí)是等腰三角形，

此時(shí)，，，

∴在中，，

即，

∴

情況三：點(diǎn)在邊上時(shí)，不可能為等腰三角形

情況四：點(diǎn)在邊上，有三種情況

1°作，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，

此時(shí)，∵，

∴，

又∵，

∴

∴，

∴，

∴，

∴

∴

2°當(dāng)時(shí)為等腰三角形，

此時(shí)，

3°當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)為等腰三角形，

此時(shí)或.