Question

已知拋物線（>0）與軸交于、兩點．

（1）求證：拋物線的對稱軸在軸的左側；

（2）若（是坐標原點），求拋物線的解析式；

（3）設拋物線與軸交于點，若D是直角三角形，求D的面積．

Answer 1

（1）證明：∵>0   ∴        （1分）

     ∴拋物線的對稱軸在軸的左側                （2分）

（2）解：設拋物線與軸交點坐標為A（，0），B（，0），

則， ，  ∴與異號     （3分）

又    ∴  由（1）知：拋物線的對稱軸在軸的左側

∴，  ∴,                 （4分）

代入得：

即，從而，解得：                （5分）

∴拋物線的解析式是                            （6分）

（3）[解法一]：當時，   ∴拋物線與軸交點坐標為（0，）

∵D是直角三角形，且只能有AC⊥BC，又OC⊥AB

∴∠CAB= 90°— ∠ABC，∠BCO= 90°— ∠ABC

∴∠CAB =∠BCO

∴Rt△AOC∽Rt△COB，                                        （7分）

∴，即   ∴

 即  解得：                             （8分）

此時=  ，∴點的坐標為（0，—1）∴OC=1

又   （9分）

∵>0，∴  即AB= ∴D的面積=×AB×OC=´´1=（10分）

[解法二]：略解: 當時，  ∴點（0，）

∵D是直角三角形  ∴                        （7分）

∴                         （8分）

∴   ∴        解得：   （9分）

∴   （10分）