Question

如圖，拋物線與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，拋物線的對稱軸與x軸相交于點M．P是拋物線在x軸上方的一個動點（點P、M、C不在同一條直線上）．分別過點A、B作直線CP的垂線，垂足分別為D、E，連接點MD、ME．

（1）求點A，B的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果），并證明△MDE是等腰三角形；

（2）△MDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時點P的坐標(biāo)；若不能，說明理由；

（3）若將“P是拋物線在x軸上方的一個動點（點P、M、C不在同一條直線上）”改為“P是拋物線在x軸下方的一個動點”，其他條件不變，△MDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時點P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果）；若不能，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）A（1，0），B（5，0），證明見解析

（2）△MDE能成為等腰直角三角形，此時點P坐標(biāo)為（，3）

（3）能。此時點P坐標(biāo)為（，）。

【解析】

試題分析：（1）在拋物線解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得點A、點B的坐標(biāo)。如答圖1所示，作輔助線，構(gòu)造全等三角形△AMF≌△BME，得到點M為為Rt△EDF斜邊EF的中點，從而得到MD=ME，問題得證。

在中，令y=0，即﹣，解得x=1或x=5，

∴A（1，0），B（5，0）。

如答圖1所示，分別延長AD與EM，交于點F，

∵AD⊥PC，BE⊥PC，∴AD∥BE�！唷螹AF=∠MBE。

在△AMF與△BME中，

∵∠MAF=∠MBE，MA=MB，∠AMF=∠BME，

∴△AMF≌△BME（ASA）。

∴ME=MF，即點M為Rt△EDF斜邊EF的中點。

∴MD=ME，即△MDE是等腰三角形。

（2）首先分析，若△MDE為等腰直角三角形，直角頂點只能是點M。如答圖2所示，設(shè)直線PC與對稱軸交于點N，證明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，從而求得點N坐標(biāo)為（3，2）；利用點N、點C坐標(biāo)，求出直線PC的解析式；最后聯(lián)立直線PC與拋物線的解析式，求出點P的坐標(biāo)。

能。

∵，∴拋物線的對稱軸是直線x=3，M（3，0）

令x=0，得y=﹣4，∴C（0，﹣4）。

△MDE為等腰直角三角形，有3種可能的情形：

①若DE⊥EM，

由DE⊥BE，可知點E、M、B在一條直線上，而點B、M在x軸上，因此點E必然在x軸上。

由DE⊥BE，可知點E只能與點O重合，即直線PC與y軸重合，不符合題意。

故此種情況不存在。

②若DE⊥DM，與①同理可知，此種情況不存在。

③若EM⊥DM，如答圖2所示，

設(shè)直線PC與對稱軸交于點N，

∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN=∠DMA。

在△ADM與△NEM中，

∵∠DMA =∠EMN，DM = EM，∠ADM=∠NEM=135°，

∴△ADM≌△NEM（ASA）�！郙N=MA。

∵M(jìn)（3，0），MN=MA=2，∴N（3，2）。

設(shè)直線PC解析式為y=kx+b，

∵點N（3，2），C（0，﹣4）在拋物線上，

∴，解得。

∴直線PC解析式為y=2x﹣4。

將y=2x﹣4代入拋物線解析式得： ，解得：x=0或x=。

當(dāng)x=0時，交點為點C；當(dāng)x=時，y=2x﹣4=3。

∴P（，3）。

綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時點P坐標(biāo)為（，3）。

（3）當(dāng)點P是拋物線在x軸下方的一個動點時，解題思路與（2）完全相同：

如答題3所示，設(shè)對稱軸與直線PC交于點N，

與（2）同理，可知若△MDE為等腰直角三角形，直角頂點只能是點M。

∵M(jìn)D⊥ME，MA⊥MN，∴∠DMN=∠EMB。

在△DMN與△EMB中，

∵∠SMN =∠EMB，DM = EM，∠MDN=∠MEB=45°，

∴△DMN≌△EMB（ASA）�！郙N=MB�！郚（3，﹣2）。

設(shè)直線PC解析式為y=kx+b，

∵點N（3，﹣2），C（0，﹣4）在拋物線上，

∴，解得。

∴直線PC解析式為y=x﹣4。

將y=x﹣4代入拋物線解析式得：，解得：x=0或x=。

當(dāng)x=0時，交點為點C；當(dāng)x=時，y=x﹣4=�！郟（，）。

綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時點P坐標(biāo)為（，）。