Question

設a、b、c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9．

Answer 1

分析：先把原式化為3+（

b

a

+

a

b

）+（

c

a

+

a

c

）+（

c

b

+

b

c

）的形式，再根據(jù)a、b、c均為正數(shù)，可得到

b

a

+

a

b

≥2，

c

a

+

a

c

≥2，

c

b

+

b

c

≥2，再代入a+b+c=1即可得出答案．

解答：解：∵a+b+c=1，
∴原式=

a+b+c

a

+

a+b+c

b

+

a+b+c

c

=3+（

b

a

+

a

b

）+（

c

a

+

a

c

）+（

c

b

+

b

c

），
∵a、b、c均為正數(shù)，
∴

b

a

+

a

b

≥2，

c

a

+

a

c

≥2，

c

b

+

b

c

≥2，
代入上式，得

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9．

點評：本題考查的是分式的等式證明，解答此題的關鍵是把原式化為3+（

b

a

+

a

b

）+（

c

a

+

a

c

）+（

c

b

+

b

c

）的形式．