Question

已知，AB是⊙O的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B），把△AOP沿OP對折，點A的對應(yīng)點C恰好落在⊙O上．

（1）當P、C都在AB上方時（如圖1），判斷PO與BC的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；

（2）當P在AB上方而C在AB下方時（如圖2），（1）中結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；

（3）當P、C都在AB上方時（如圖3），過C點作CD⊥直線AP于D，且CD是⊙O的切線，證明：AB=4PD．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)圖形可知PO∥BC；（2）根據(jù)圖形可知PO∥BC結(jié)論仍成立，根據(jù)條件只需要證明∠CPO=∠PCB即可；（3）根據(jù)條件證得△APO為等邊三角形，進而得∠OCP=60°，CD是⊙O的切線，得∠OCD=90°,所以∠DCP=30°,所以PC=2PD,PC=AP=OA,所以AB=4PD.

試題解析：【解析】
（1）PO與BC的位置關(guān)系是PO∥BC；

（2）（1）中的結(jié)論PO∥BC成立，理由為：

由折疊可知：△APO≌△CPO，

∴∠APO=∠CPO， 又∵OA=OP，

∴∠A=∠APO， ∴∠A=∠CPO，

又∵∠A與∠PCB都為所對的圓周角，

∴∠A=∠PCB， ∴∠CPO=∠PCB， ∴PO∥BC；

（3）∵CD為圓O的切線，

∴OC⊥CD，又AD⊥CD， ∴OC∥AD，

∴∠APO=∠COP， 由折疊可得：∠AOP=∠COP，

∴∠APO=∠AOP， 又OA=OP，∴∠A=∠APO，

∴∠A=∠APO=∠AOP， ∴△APO為等邊三角形，

∴∠AOP=60°， 又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，

∴△BCO為等邊三角形，∴∠COB=60°，

∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，∴△POC也為等邊三角形，

∴∠PCO=60°，PC=OP=OC， 又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°，

在Rt△PCD中，PD=PC，

又∵PC=OP=AB，∴PD=AB，即AB=4PD．

考點：1.全等三角形的性質(zhì)與判定；2.圓周角定理；3.切線的性質(zhì)；4. 等邊三角形的判定與性質(zhì).