Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點，過 A、B、D三點的圓交CB的延長線于點E．
（1）求證：AE=CE．
（2）若EF與過A、B、D三點的圓相切于點E，交AC的延長線于點F，若CD=CF=2cm，求過 A、B、D三點的圓的直徑．

Answer 1

分析：（1）連接DE，求出AE是直徑，求出∠ADE=90°，根據(jù)線段垂直平分線性質求出即可．
（2）證△ADE∽△AEF，得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）證明：連接DE，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE是過 A、B、D三點的圓的直徑，
∴∠ADE=90°，
∴DE⊥AC，
又∵D是AC的中點，
∴DE是AC的垂直平分線，
∴AE=CE． 
                                  
（2）解：∵CD=CF=2cm，
∴AF=AC+CF=6cm，
∵EF與過 A、B、D三點的圓相切于點E，
∴∠AEF=90°=∠ADE，
又∵∠DAE=∠FAE，
∴△ADE∽△AEF，
∴

AE

AF

=

AD

AE

，
即

AE

6

=

2

AE

，
∴AE=2

3

cm．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，圓周角定理，切線的性質，線段垂直平分線性質的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理和計算的能力．