Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，點D為邊BC的中點，以AB、BD為鄰邊作ABDE，連結(jié)AD、EC．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？（直接寫出滿足的條件即可）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在△ABC中，AB=AC，點D為邊BC的中點，

∴BD=DC，∠ADC=90°，

∵四邊形ABDE是平行四邊形，

∴AE∥BD且AE=BD，

∴AE∥DC且AE=DC，

∴四邊形ADCE是平行四邊形，

又∠ADC=90°，

∴四邊形ADCE是矩形；

（2）解：當(dāng)△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形；

理由是：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ACD=45°，

∵∠ADC=90°，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴AD=CD，

∴矩形ADCE是正方形．

【解析】（1）先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明∠ADC=90°，再根據(jù)有一組對邊平行且相等證明四邊形ADCE是平行四邊形，所以四邊形ADCE是矩形；（2）當(dāng)△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．
【考點精析】掌握等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．