Question

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分別是BC、CD邊的中點，連接BF、DE交于點P，連接CP并延長交AB于點Q，連接AF，則下列結論不正確的是（　　）

• A、CP平分∠BCD
• B、四邊形ABED為平行四邊形
• C、△ABF為等腰三角形
• D、CQ將直角梯形ABCD分為面積相等的兩部分

Answer 1

考點：直角梯形

專題：

分析：根據(jù)中點的定義求出BE=CE=CF=DF，再利用“邊角邊”證明△BCF和△DCE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DE=BF，全等三角形對應角相等可得∠CBF=∠CDE，∠BFC=∠DEC，再根據(jù)等角的補角相等可得∠BEP=∠DFP，然后利用“角邊角”證明△BEP和△DFP全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BP=DP，再利用“邊角邊”證明△BCP和△DCP全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠BCP=∠DCP，再根據(jù)角平分線的定義可得CP平分∠BCD；根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形ABED為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得AB=DE，再求出AB=BF，從而得到△ABF為等腰三角形；連接QD，利用“邊角邊”證明△BCQ和△DCQ全等，根據(jù)全等三角形的面積相等判斷出S_△BCQ=S_△DCQ，判斷出CQ將直角梯形ABCD分成的兩部分面積不相等．

解答：解：∵BC=CD，E、F分別是BC、CD邊的中點，
∴BE=CE=CF=DF，
在△BCF和△DCE中，

BC=DC ∠BCF=∠DCE=90° CE=CF

，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，∠BFC=∠DEC，
∴180°-∠BFC=180°-∠DEC，
即∠BEP=∠DFP，
在△BEP和△DFP中，

∠CBF=∠CDE BE=DF ∠BEP=∠DFP

，
∴△BEP≌△DFP（ASA），
∴BP=DP，
在△BCP和△DCP中，

BP=DP ∠CBF=∠CDE BC=CD

，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴∠BCP=∠DCP，
∴CP平分∠BCD，故A選項結論正確；
∵BC=2AD，E是BC的中點，
∴BE=AD，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABED為平行四邊形，故B選項結論正確；
∴AB=DE，
又∵DE=BF（已證），
∴AE=BF，
∴△ABF為等腰三角形，故C選項結論正確；
連接QD，
在△BCQ和△DCQ中，

BC=CD ∠BCP=∠DCP CQ=CQ

，
∴△BCQ≌△DCQ（SAS），
∴S_△BCQ=S_△DCQ，
∴CQ將直角梯形ABCD分成的兩部分面積不相等，故D選項結論不正確．
故選D．

點評：本題考查了直角梯形，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟記各圖形的判定方法和性質(zhì)并準確識圖是解題的關鍵，難點在于多次證明三角形全等．