Question

10．如圖1，水平放置一個三角板和一個量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上，∠ACB=90°，∠BAC=30°，OD=3cm，開始的時候BD=1cm，現(xiàn)在三角板以2cm/s的速度向右移動．
（1）當(dāng)點B于點O重合的時候，求三角板運(yùn)動的時間；
（2）三角板繼續(xù)向右運(yùn)動，當(dāng)B點和E點重合時，AC與半圓相切于點F，連接EF，如圖2所示．
①求證：EF平分∠AEC；
②求EF的長．

Answer 1

分析 （1）由當(dāng)點B于點O重合的時候，BO=OD+BD=4cm，又由三角板以2cm/s的速度向右移動，即可求得三角板運(yùn)動的時間；
（2）①連接OF，由AC與半圓相切于點F，易得OF⊥AC，然后由∠ACB=90°，易得OF∥CE，繼而證得EF平分∠AEC；
②由△AFO是直角三角形，∠BAC=30°，OF=OD=3cm，可求得AF的長，由EF平分∠AEC，易證得△AFE是等腰三角形，且AF=EF，則可求得答案．

解答 解：（1）∵當(dāng)點B于點O重合的時候，BO=OD+BD=4cm，
∴t=$\frac{4}{2}$=2（s）；
∴三角板運(yùn)動的時間為：2s；

（2）①證明：連接O與切點F，則OF⊥AC，
∵∠ACE=90°，
∴EC⊥AC，
∴OF∥CE，
∴∠OFE=∠CEF，
∵OF=OE，
∴∠OFE=∠OEF，
∴∠OEF=∠CEF，
即EF平分∠AEC；

②解：由①知：OF⊥AC，
∴△AFO是直角三角形，
∵∠BAC=30°，OF=OD=3cm，
∴tan30°=$\frac{3}{AF}$，
∴AF=3$\sqrt{3}$cm，
由①知：EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠CEF=$\frac{1}{2}$∠AEC=30°，
∴∠AEF=∠EAF，
∴△AFE是等腰三角形，且AF=EF，
∴EF=3$\sqrt{3}$cm．

點評 此題屬于圓的綜合題．考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．