Question

在平面直角坐標系中，點B的坐標為（2，0），過點B作AB⊥x軸，交y=

m

x

（m＞0）的圖象于點A，點P為y軸正半軸上動點，點P的縱坐標為n，以PA、PB為邊作?APBC．
（1）當

m

2

＞n時，求點C的縱坐標（用含m、n的代數(shù)式表示）；
（2）當n=3時，若點C恰好落在x軸上，求m的值；
（3）當點P運動時，是否存在一個內(nèi)角為60°的菱形APBC？若存在，求出所有滿足條件的m、n的值，并判斷點C是否在y=

m

x

（m＞0）的圖象上；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）過點P作PD⊥AB于D，過點C作CE⊥AB于E，易證四邊形OPDB是矩形，從而有OP=BD，OB=PD；易證△ADP≌△BEC，則有AD=BE，由x_A=x_B=2可用m表示出AB，就可用m、n表示出AD即BE的長，問題得以解決．
（2）由條件可得到點A的坐標，代入反比例函數(shù)的解析式就可求出m的值．
（3）可分∠APB=60°和∠PAC=60°兩種情況討論，然后運用菱形的性質及勾股定理等知識就可解決問題．

解答：解：（1）過點P作PD⊥AB于D，過點C作CE⊥AB于E，如圖1．

則有∠ADP=∠BEC=90°，∠POB=∠OBD=∠PDB=90°，
∴四邊形OPDB是矩形，
∴OP=BD，OB=PD．
∵四邊形APBC是平行四邊形，
∴AP=BC，AP∥BC，
∴∠PAB=∠CBA．
在△ADP和△BEC中，

∠PAB=∠CBA ∠ADP=∠BEC AP=BC

，
∴△ADP≌△BEC，
∴AD=BE．
∵點A在函數(shù)y=

m

x

圖象上，x_A=x_B=2，
∴y_A=

m

2

即AB=

m

2

，
∴BE=AD=AB-BD=AB-OP=

m

2

-n，
∴點C的縱坐標為

m

2

-n．

（2）當點C恰好落在x軸上時，如圖2．

∵四邊形APBC是平行四邊形，
∴AP∥BC，
∴AB=OP=3，
∴點A的坐標為（2，3）．
∵點A在函數(shù)y=

m

x

圖象上，
∴m=2×3=6．
∴m的值為6．

（3）連接PC交AB于點H．
①若∠APB=60°，如圖3．

∵四邊形APBC是菱形，
∴PH=CH，BH=AH，AB⊥PC，PA=PB，
∴△PAB是等邊三角形，
∴PB=AB=2BH，
∴PH=

PB2-BH2

=

3

BH．
∵PH=OB=2，
∴

3

BH=2，
∴BH=

2 3

3

，
∴n=OP=BH=

2 3

3

，點A的坐標為（2，

4 3

3

）．
∵點A在函數(shù)y=

m

x

圖象上，
∴m=2×

4 3

3

=

8 3

3

．
此時點C的坐標為（4，

2 3

3

）．
∵4×

2 3

3

=

8 3

3

=m，
∴點C在y=

m

x

（m＞0）的圖象上．
②若∠PAC=60°，如圖4．

同理可得：m=8

3

，n=2

3

，
點C的坐標為（4，2

3

），在y=

m

x

（m＞0）的圖象上．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、矩形的判定與性質、平行四邊形的性質、菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理等知識，還考查了分類討論的數(shù)學思想，有一定的綜合性．