Question

11．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A₁，A₂，A₃，…和B₁，B₂，B₃，…分別在直線y=kx+b和x軸上，△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃，…都是等腰直角三角形，如果A₁（1，1），A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），那么點A₃的縱坐標是$\frac{9}{4}$，點A_n的縱坐標是（$\frac{3}{2}$）^n-1．

Answer 1

分析 先求出直線y=kx+b的解析式，求出直線與x軸、y軸的交點坐標，求出直線與x軸的夾角的正切值，分別過等腰直角三角形的直角頂點向x軸作垂線，然后根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高線與中線重合并且等于斜邊的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜邊上的高線，即可得到A₃的坐標，進而得出各點的坐標的規(guī)律．

解答 解：∵A₁（1，1），A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$）在直線y=kx+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=1}\\{\frac{7}{2}k+b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{5}}\\{b=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線解析式為：y=$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$；
設(shè)直線與x軸、y軸的交點坐標分別為N、M，
當x=0時，y=$\frac{4}{5}$，
當y=0時，$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$=0，
解得x=-4，
∴點M、N的坐標分別為M（0，$\frac{4}{5}$），N（-4，0），
∴tan∠MNO=$\frac{MO}{NO}$=$\frac{\frac{4}{5}}{4}$=$\frac{1}{5}$，
作A₁C₁⊥x軸與點C₁，A₂C₂⊥x軸與點C₂，A₃C₃⊥x軸與點C₃，
∵A₁（1，1），A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴OB₂=OB₁+B₁B₂=2×1+2×$\frac{3}{2}$=2+3=5，
tan∠MNO=$\frac{{A}_{3}{C}_{3}}{N{C}_{3}}$=$\frac{{A}_{3}{C}_{3}}{4+5+{B}_{3}{C}_{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∵△B₂A₃B₃是等腰直角三角形，
∴A₃C₃=B₂C₃，
∴A₃C₃=$\frac{9}{4}$=（$\frac{3}{2}$）²，
同理可求，第四個等腰直角三角形A₄C₄=$\frac{27}{8}$=（$\frac{3}{2}$）³，
依此類推，點A_n的縱坐標是（$\frac{3}{2}$）^n-1，
故答案為：$\frac{9}{4}$，（$\frac{3}{2}$）^n-1．

點評 本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知一次函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．