Question

如圖，在銳角△ABC中，AD是BC邊上的高線，矩形EFGH的頂點E，H分別在AB，AC上，F(xiàn)，G在BC邊上，AD與EH相交于點K．
（1）如圖1，若BC=10，AD=5，EH=2EF，求EF，EH的長．
（2）如圖2，若BC=AD=8，求矩形EFGH的周長．
（3）如圖3，若四邊形EFGH是邊長為4的正方形，且S_△AEH：S_△HGC：S_△BEF=1：1：3，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊比例相等性質(zhì)即可解題；
（2）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊比例相等性質(zhì)可解；
（3）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊比值相等可以求得AK的值，即可求△ABC的面積．

解答：解：（1）∵矩形EFGH，
∴EH∥BC，AK=AD-KD=AK-EF，
∴

AK

AD

=

EH

BC

=

AD-EF

AD

，
∵EH=2EF，
∴AK=EF=

5

2

，EH=2EF=5；
（2）∵

EF

AD

=

BF

BD

，

GH

AD

=

CG

CD

，
∴

BF

BD

=

CG

CD

=

EF

AD

，
∴

FG

BC

=1-

BF+CG

BC

，
∴

EF

AD

+

FG

BC

=1，
∵AD=BC
∴EF+FG=AD=8，
∴矩形EFGH的周長為16．
（3）設(shè)AK=x，
∵S_△AEH：S_△HGC：S_△BEF=1：1：3，
∴AK：GC：BF=1：1：3，
∵

AK

AD

=

EH

BC

，
∴

x

x+4

=

4

3x+x+4

，
解得x=2，
∴△ABC的面積為

1

2

BC•AD=

1

2

×12×6=36．

點評：本題考查了相似三角形對應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，考查了三角形面積的計算．