Question

6．已知如圖，正方形ABCD的邊長為1，P是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段BC上，設(shè)BQ=k，是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得Q、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△ADP相似？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得Q、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△ADP相似，要分兩種情況①點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時的情況；②點(diǎn)Q與點(diǎn)B不重合時，由△ADP∽△PCQ相似的性質(zhì)，可得AD：DP=PC：CQ，分別討論解答．

解答 解：存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得Q、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△ADP相似，理由如下：
根據(jù)題意，當(dāng)Q點(diǎn)與B重合時，△ADP≌△PCQ，此時k=0；
當(dāng)△ADP∽△PCQ時，AD：DP=PC：CQ，
∵正方形ABCD的邊長為1，P是CD邊的中點(diǎn)，
∴AD=1，PD=0.5，PC=0.5，CQ=1-k，
即1：0.5=0.5（1-k），解得k=0.75．
綜上可知：k=0或0.75．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的四條邊都相等的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，因?yàn)閷��?yīng)邊不明確，所以要分情況討論求解，避免漏解而導(dǎo)致出錯．