Question

如圖，二次函數(shù)y=-x²+mx+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且△AOB的面積為6．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如果點(diǎn)P在x軸上，且△ABP是等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：

分析：（1）令x=0，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，由△AOB的面積公式可求得OB的長，進(jìn)而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，可求得k的值，確定出拋物線解析式；
（2）若△ABP是等腰三角形，且點(diǎn)P在x軸上，故點(diǎn)P的位置有三種情況，由等腰三角形的性質(zhì)分別求得即可．

解答：解：（1）由解析式可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3）．
∵S_△OAB=

1

2

×BO×3=6，
∴BO=4．
∴B（-4，0），
把點(diǎn)B的坐標(biāo)（-4，0）代入y=-x²+mx+3，
得-（-4）²+m×（-4）+3=0．
解得m=-

13

4

．
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=-x²-

13

4

x+3；

（2）當(dāng)△ABP是等腰三角形時(shí)，需分類討論：

①如圖1，當(dāng)AB=AP時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）；
②如圖2，當(dāng)AB=BP時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（-9，0）；
③如圖3，當(dāng)AP=BP時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0）根據(jù)題意，得

x2+32

=|x+4|．
解得x=-

7

8

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

7

8

，0），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0），（1，0），（-9，0），（-

7

8

，0）．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，注意當(dāng)△ABP是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的位置有三種情況．