Question

如圖，AE為⊙O的直徑，EF為⊙O的切線，E為切點，連接AF交⊙O于點C，CB∥EF交AE于H交⊙O于B，D為BC弧上一點，連接AD交BC于G．
（1）求證：AD平分∠BDC；
（2）若BC垂直平分OE，BD=2，DC=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：證明題

分析：（1）根據切線的性質，由EF為⊙O的切線得到AE⊥EF，而BC∥EF，根據平行線的性質得AE⊥BC，根據垂直定理得

AB

=

AC

，然后根據圓周角得到∠ADB=∠ADC；
（2）連接AB，作BM⊥CD于M，如圖，由于BC垂直平分OE易得OH=

1

2

OB，所以∠OBH=30°，可計算出∠BOH=60°，根據圓周角定理得∠BAC=60°，在根據圓內接四邊形的性質得∠BDM=∠BAC=60°，根據含30度的直角三角形三邊的關系得DM=

1

2

BD=1，BM=

3

DM=

3

，然后在Rt△BCM中根據勾股定理計算BC的長．

解答：（1）證明：∵EF為⊙O的切線，
∴AE⊥EF，
∵BC∥EF，
∴AE⊥BC，
∴

AB

=

AC

，
∴∠ADB=∠ADC，
即AD平分∠BDC；
（2）解：連接AB，作BM⊥CD于M，如圖，
∵BC垂直平分OE，
∴OH=EH，
∴OH=

1

2

OB，
∴∠OBH=30°，
∴∠BOH=60°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BDM=∠BAC=60°，
在Rt△BDM中，∵∠MBD=30°，
∴DM=

1

2

BD=1，BM=

3

DM=

3

，
在Rt△BCM中，∵CM=CD+DM=4+1=5，BM=

3

，
∴BC=

BM2+CM2

=2

7

．
∴BH=

7

，
設OH=x，則OB=2x，
∴x²+（

7

）²=（2x）²，
∴x=

21

3

，
∴半徑為：

2 21

3

．

點評：本題考查了圓的切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了勾股定理．