Question

在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D為BC邊上一動點（不與點B重合），以D為圓心，DC的長為半徑作⊙D．當⊙D與AB邊相切時，半徑DC的長為

 

．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：如圖，假設(shè)AB與⊙D相切于點F，連接FD．通過相似三角形△BFD∽△BGA的對應(yīng)邊成比例得到

DF

AG

=

DB

BA

．DF=6-BD，由勾股定理求得AG=4，BA=5，所以把相關(guān)線段的長度代入便可以求得BD的長度．

解答：解：如圖，假設(shè)AB與⊙D相切于點F，連接FD，則DF=DC，∠BFD=90°．
過點A作AG⊥BC于點G，則∠BGA=90°．
∴在△BFD和△BGA中，∠BFD=∠BGA=90°，∠B=∠B，
∴△BFD∽△BGA，
∴

DF

AG

=

DB

BA

．
又∵AB=AC=5，BC=6，AG⊥BC
∴BG=

1

2

BC=3，AG=

AB2-BG2

=4，
∴

6-BD

4

=

BD

5

，
解得BD=

10

3

，
∴CD=BC-BD=6-

10

3

=

8

3

．
故答案為：

8

3

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形．