Question

圖形既關于點O中心對稱，又關于直線AC，BD對稱，AC=10，BD=6，已知點E，M是線段AB上的動點（不與端點重合），點O到EF，MN的距離分別為h₁，h₂，△OEF與△OGH組成的圖形稱為蝶形．
（1）求蝶形面積S的最大值；
（2）當以EH為直徑的圓與以MQ為直徑的圓重合時，求h₁與h₂滿足的關系式，并求h₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，得四邊形ABCD是菱形，根據(jù)EF∥BD，求證△ABD∽△AEF，然后利用其對邊成比例求得EF，然后利用三角形面積公式即可求得蝶形面積S的最大值．
（2）根據(jù)題意，得OE=OM．作OR⊥AB于R，OB關于OR對稱線段為OS，①當點E，M不重合時，則OE，OM在OR的兩側(cè)，可知RE=RM．利用勾股定理求得BR，由ML∥EK∥OB，利用平行線分線段求得

h1

5

+

h2

5

=

9

17

即可知h₁的取值范圍；②當點E，M重合時，則h₁=h₂，此時可知h₁的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，得四邊形ABCD是菱形．
∵EF∥BD，
∴△ABD∽△AEF，
∴

EF

6

=

5-h1

5

，即EF=

6

5

(5-h1)
∴S=2S△OEF=EF×h1=

6

5

(5-h1)×h1=-

6

5

(h1-

5

2

)2+

15

2

所以當h1=

5

2

時，Smax=

15

2

．

（2）根據(jù)題意，得OE=OM．
如圖，作OR⊥AB于R，OB關于OR對稱線段為OS，
①當點E，M不重合時，則OE，OM在OR的兩側(cè)，易知RE=RM．
∵AB=

52+32

=

34

，
∴OR=

15

34

，
∴BR=

32-( 15 34 )2

=

9

34

由ML∥EK∥OB，
得

OK

OA

=

BE

AB

，

OL

OA

=

BM

AB

∴

OK

OA

+

OL

OA

=

BE

AB

+

BM

AB

=

2BR

AB

，
即

h1

5

+

h2

5

=

9

17

∴h1+h2=

45

17

，此時h₁的取值范圍為0＜h1＜

45

17

且h1≠

45

34

，
②當點E，M重合時，則h₁=h₂，此時h₁的取值范圍為0＜h₁＜5．

點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，中心對稱，平行線分線段成比例等知識點，綜合性強，有一定的拔高難度，屬于難題．