Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜邊AB上的點(diǎn)O為圓心的圓分別與AC，BC相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，與AB分別交于點(diǎn)G，H，且EH的延長(zhǎng)線(xiàn)和CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì),切割線(xiàn)定理,相似三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：壓軸題

分析：連接OE、OF，由切線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合結(jié)合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半徑為0.5a，則BF=a-0.5a=0.5a，再由切割線(xiàn)定理可得BF²=BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出BH=BD，最終由CD=BC+BD，即可求出答案．

解答：解：如圖，連接OE、OF，
∵由切線(xiàn)的性質(zhì)可得OE=OF=⊙O的半徑，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴OECF是正方形，
∵由△ABC的面積可知

1

2

×AC×BC=

1

2

×AC×OE+

1

2

×BC×OF，
∴OE=OF=

1

2

a=EC=CF，BF=BC-CF=0.5a，GH=2OE=a，
∵由切割線(xiàn)定理可得BF²=BH•BG，
∴

1

4

a²=BH（BH+a），
∴BH=

-1+ 2

2

a或BH=

-1- 2

2

a（舍去），
∵OE∥DB，OE=OH，
∴△OEH∽△BDH，
∴

OE

OH

=

BD

BH

，
∴BH=BD，CD=BC+BD=a+

-1+ 2

2

a=

1+ 2

2

a．
故答案為：

1+ 2

2

a．

點(diǎn)評(píng)：考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用相似三角形的性質(zhì)及切線(xiàn)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．