Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（－1,0），（5,0），（0,2）
【小題1】求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式．
【小題2】若點(diǎn)P從Ａ點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，連接PC并延長到點(diǎn)E，使CE=PC，將線段PE繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PF,連接FB．若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ｔ秒，（0≤t≤6）設(shè)△PBF的面積為S．
①求S與ｔ的函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)ｔ是多少時(shí)，△PBF的面積最大，最大面積是多少？
【小題3】點(diǎn)P在移動(dòng)的過程中，△PBF能否成為直角三角形？若能，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【小題1】
【小題2】①s=(t－2.5)²－6.25  ②S_最大=6
【小題3】能  , t=2或t= 時(shí),△PFB是直角三角形     

解析

解： 設(shè)拋物線的解析式為

      把（0,2）代入解析式得                                       
，　
（2）過點(diǎn)F作FD⊥x軸于D

①當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，BP=6－t,  OP=1－t       
在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°
∵∠FPD+∠CPO=90°
∴∠PCO=∠FPD
∵∠POC=∠FDP
∴△CPO∽△PFD                                      
∴ 
∵PF=PE=2PC
∴FD=2PO=2（1－t）                                         
∴S=                   
=t²－7t+6   (0≤t≤1)                        
=(t－2.5)²－6.25
∵1＞0
∴t≤2.5 時(shí)， s隨著t增大而減小
而0≤t≤1 ∴當(dāng)t=0時(shí)S_最大=6
②當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，OP=t－1，  BP=6－t
∴S△PBF=－t²+7t-6=－(t－3.5)² +6.25  (1≤t≤6)
∵－1＞0
∴t＝3.5 時(shí)， S_最大=6.25＞6
∴當(dāng)t=3.5時(shí)，△PFB面積最大，最大面積為6.25.
（3）能                                                  
t=2或t= 時(shí),△PFB是直角三角形