Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，6），且與x軸交于點(diǎn)B，與正比例函數(shù)y=3x的圖象相交于點(diǎn)C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是1．

（1）求此一次函數(shù)的解析式；

（2）請(qǐng)直接寫出不等式（k-3）x+b＞0的解集；

（3）設(shè)一次函數(shù)y=kx+b的圖象與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上，當(dāng)△CMN是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+4；（2）x＜1；（3）當(dāng)△CMN是直角三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-4，0），（0，2），（-2，0），（0，3）．

【解析】

(1)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出此一次函數(shù)的解析式；

(2)由(1)的結(jié)論可得出y=-4x+4，令y=0可求出該直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出不等式(k-3)x+b＞0的解集；

(3)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，分∠CMN=90°，∠MCN=90°及∠CNM=90°三種情況，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

(1)當(dāng)x=1時(shí)，y=3x=3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，3)．

將A(-2，6)，C(1，3)代入，得：，

解得：，

∴此一次函數(shù)的解析式為；

(2)令，即，

解得：．

∵-4＜0，

∴y的值隨x值的增大而減小，

∴不等式＞0的解集為x＜1；

(3)∵直線AB的解析式為，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，4)，

∴OB=OM，

∴∠OMB=45°．

分三種情況考慮，如圖所示．

①當(dāng)∠CMN=90°時(shí)，

∵∠OMB=45°，

∴∠OMN=45°，∠MON=90°，

∴∠MNO=45°，

∴OM=ON，

∴點(diǎn)N1的坐標(biāo)為(-4，0)；

②當(dāng)∠MCN=90°時(shí)，

∵∠CMN=45°，∠MCN=90°，

∴∠MNC=45°，

∴CN=CM==，

∴MN=CM=2，

∴點(diǎn)N2的坐標(biāo)為(0，2)．

同理：點(diǎn)N3的坐標(biāo)為(-2，0)；

③當(dāng)∠CNM=90°時(shí)，CM∥x軸，

∴點(diǎn)N4的坐標(biāo)為(0，3)．

綜上所述：當(dāng)△CMN是直角三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-4，0)，(0，2)，(-2，0)，(0，3)．