Question

9．已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點(diǎn)，BE平分∠ABD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，⊙O過B、E兩點(diǎn)，交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F． BD=6，sinC=$\frac{3}{5}$．則下面結(jié)論正確的有（填序號(hào)）（1）（2）
（1）AC與⊙O相切；
（2）EF=EG；  
（3）⊙O的直徑等于8；
（4）AB²=AC AE．

Answer 1

分析 （1）正確．欲證明AC是切線，只要證明OE⊥AC，只要證明OE∥BD即可．
（2）正確．根據(jù)等弧所對(duì)的弦相等證明即可．
（3）錯(cuò)誤．在Rt△BCD中，由BD=6，sinC=$\frac{3}{5}$，求出BC=BA=10，CD=AD=8，由EM⊥BF，ED⊥BD，∠EBM=∠EBD，推出EM=ED，設(shè)EM=ED=x，在Rt△AEM中，AE²=EM²+AM²，列出方程求出x，再利用相似三角形的性質(zhì)求出FM即可解決問題．
（4）錯(cuò)誤．不放假時(shí)成立，推出矛盾即可．

解答 解：如圖連接EO，EF，作EM⊥AB于M．
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠EBD=∠OEB，
∴OE∥BD，
∵BA=BC，AD=CD，
∴BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切線，故（1）正確．
∵∠EBF=∠EBG，
∴$\widehat{EF}$=$\widehat{EG}$，
∴EF=EG．故（2）正確．
在Rt△BCD中，∵BD=6，sinC=$\frac{3}{5}$，
∴BC=BA=10，CD=AD=8，
∵EM⊥BF，ED⊥BD，∠EBM=∠EBD，
∴EM=ED，設(shè)EM=ED=x，
在Rt△AEM中，AE²=EM²+AM²，
∴（8-x）²=x²+4²，
∴x=3，
∵∠EFM+∠FEM=90°，∠FEM+∠BEM=90°，
∴∠EFM=∠BEM，∵∠EMF=∠EMB，
∴△EMF∽△BME，
∴$\frac{EM}{BM}$=$\frac{FM}{EM}$，
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{FM}{3}$，
∴FM=$\frac{3}{2}$，
∴直徑BF=FM+BM=$\frac{15}{2}$，故（3）錯(cuò)誤，
不妨設(shè)AB²=AC AE．
則$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACB，
∴∠C=∠ABE，
∵∠CBD=2∠ABE，
∴∠CBD=2∠C，
∵∠C+∠CBD=90°，
∴∠C=30°，這顯然不符合題意，故（4）錯(cuò)誤．
故答案為（1）（2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．角平分線的性質(zhì)定理、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．