Question

20．如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF邊CE上，DG平分∠EGC，延長GD交BE于H，EG與FH交于點M，若DC=$2-\sqrt{2}$，則GM=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 證明△BCE≌△DCG，即可證得∠BEC=∠DGC，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理證得∠EHG=90°，則HG⊥BE，然后證明△BGH≌△EGH，則H是BE的中點，設(shè)O是EG的中點，連接OH，交CE于N，則OH是△BGE的中位線，由△DHN∽△DGC與△EFM∽△OMH，求得兩個三角形的邊長的比，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCE=90°，
同理可得CE=CG，∠DCG=90°，
在△BCE和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCG=90°}\\{CE=CG}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC=∠DGC，
∵∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90°，
∴∠EDH+∠BEC=90°，
∴∠EHD=90°，
∴HG⊥BE，
在△BGH和△EGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EHG=∠BHG}\\{HG=HG}\\{∠EGH=∠BGH}\end{array}\right.$，
∴△BGH≌△EGH（ASA），
∴BH=EH，
設(shè)O是EG的中點，連接OH，交CE于N，如圖所示：則OH為△BEG的中位線，HN為△BCE的中位線，
設(shè)HN=a，則BC=2a，設(shè)正方形ECGF的邊長是2b，則NC=b，CD=2a，
∵OH為△BEG的中位線，
∴OH∥BG，
∴△DHN∽△DGC，
∴$\frac{DN}{DC}$=$\frac{HN}{CG}$，即$\frac{b-2a}{2a}$=$\frac{a}{2b}$，
整理得：a²+2ab-b²=0，
解得：a=（-1+$\sqrt{2}$）b，或a=（-1-$\sqrt{2}$）b（舍去），
∵a=2-$\sqrt{2}$，
∴b=$\sqrt{2}$，
∵OH∥BG，
∴EF∥OH，
∴△EFM∽△OMH，
∴$\frac{EM}{OM}$=$\frac{EF}{OH}$=$\frac{2b}{a+b}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵CE=$\sqrt{2}$，
∴EG=2，
∴OE=OG=1，
∴$\frac{OM}{OE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，即$\frac{OM}{1}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，
∴OM=$\sqrt{2}$-1，
∴GM=OG+OM=$\sqrt{2}$，
故答案為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)求得三角形的邊長的比是解決問題的關(guān)鍵．