Question

6．將一條長(zhǎng)度為40cm的繩子剪成兩段，并以每一段繩子的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)圍成一個(gè)正方形．
（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于58cm²，那么這段繩子剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是多少？
（2）求兩個(gè)正方形的面積之和的最小值，此時(shí)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是多少？

Answer 1

分析 （1）設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（10-x）cm，依題意列方程即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)兩個(gè)正方形的面積和為y，于是得到y(tǒng)=x²+（10-x）²=2（x-5）²+50，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（10-x）cm，
依題意列方程得x²+（10-x）²=58，
整理得：x²-10x+21=0，
解方程得x₁=3，x₂=7，
3×4=12cm，40-12=28cm，或4×7=28cm，40-28=12cm．
因此這段繩子剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是12cm、28cm；
（2）設(shè)兩個(gè)正方形的面積和為y，則y=x²+（10-x）²=2（x-5）²+50，
∴當(dāng)x=5時(shí)，y_最小值=50，此時(shí)，10-5=5cm，
即兩個(gè)正方形的面積之和的最小值是50cm²，此時(shí)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是5cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，正方形的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，列出關(guān)系式并整理成頂點(diǎn)式形式是解題的關(guān)鍵．