Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為A（0，a），B（b，a），且a，b滿足（a﹣3）2+|b﹣6|＝0．現將線段AB向下平移3個單位，再向左平移2個單位，得到線段CD，點A，B的對應點分別為點C，D．連接AC，BD.

（1）如圖①，求點C，D的坐標及四邊形ABDC的面積；

（2）在y軸上是否存在一點M，使三角形MCD的面積與四邊形ABDC的面積相等？若存在，求出點M的坐標，若不存在，試說明理由；

（3）如圖②，點P是直線BD上的一個動點，連接PA，PO，當點P在直線BD上移動時（不與B，D重合），直接寫出∠BAP，∠DOP，∠APO之間滿足的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣2，0），D（4，0），S四邊形ABDC＝18；（2）M（0，6）或（0，﹣6）；（3）①當點P在線段BD上移動時，∠APO＝∠DOP+∠BAP；②當點P在DB的延長線上時，∠DOP＝∠BAP+∠APO；③當點P在BD的延長線上時，∠BAP＝∠DOP+∠APO．

【解析】

（1）根據非負數的性質分別求出a、b，根據平移規(guī)律得到點C，D的坐標，根據坐標與圖形的性質求出S四邊形ABCD；
（2）設M坐標為（0，m），根據三角形的面積公式列出方程，解方程求出m，得到點M的坐標；
（3）分點P在線段BD上、點P在DB的延長線上、點P在BD的延長線上三種情況，根據平行線的性質解答．

（1）∵，

∴，，

解得：，.

∴A（0，3），B（6，3），

∵將點A，B分別向下平移3個單位，再向左平移2個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，

∴C（﹣2，0），D（4，0），

∴S四邊形ABDC＝；

（2）在y軸上存在一點M，使S△MCD＝S四邊形ABCD，

設M坐標為（0，m）．

∵S△MCD＝S四邊形ABDC，

∴，

解得，

∴M（0，6）或（0，﹣6）；

（3）①當點P在線段BD上移動時，，

理由如下：如圖1，過點P作，

∵CD由AB平移得到，則，

∴，

∴，，

∴；

②當點P在DB的延長線上時， ；

理由如下：如圖3，過點P作，

∵CD由AB平移得到，則，

∴，

∴，,

∴；

③當點P在BD的延長線上時，．

理由如下：如圖4，過點P作，

∵CD由AB平移得到，則，

∴，

∴，,

∴；