Question

2．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過A（8，0），B（2，0），C（0，-6）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得四邊形PB0C的周長最��？若存在，求出四邊形PB0C周長的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設交點式為y=a（x-8）（x-2），然后把C點坐標代入求出a=-$\frac{3}{8}$，于是得到拋物線解析式為y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{15}{4}$x-6；
（2）先確定拋物線的對稱軸為直線x=5，連結BC交直線x=5于點P，如圖，利用對稱性得到PA=PB，所以PB+PC=PC+PA=AC，根據兩點之間線段最短得到PC+PB最短，于是可判斷此時四邊形PBOC的周長最小，然后計算出AC=10，再計算OC+OB+AC即可．

解答 解：（1）設拋物線解析式為y=a（x-8）（x-2），
把C（0，-6）代入得a•（-8）•（-2）=-6，解得a=-$\frac{3}{8}$，
所以拋物線解析式為y=-$\frac{3}{8}$（x-8）（x-2），即y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{15}{4}$x-6；
（2）存在．
因為A（8，0），B（2，0），
所以拋物線的對稱軸為直線x=5，
連結AC交直線x=5于點P，如圖，則PA=PB，PB+PC=PC+PA=AC，此時PC+PB最短，
所以此時四邊形PBOC的周長最小，
因為AC=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
所以四邊形PBOC周長的最小值為2+6+10=18．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．也考查了最短路徑問題．