Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一點，以O為圓心OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC交于點D，連接DE、DE、OC，若DE∥OC．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若AD=2，AE=1，求CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要想證AC是⊙O的切線，只要連接OD，求證∠ODA=90°即可．
（2）勾股定理求出半徑后，求CD的長．
解答：證明：（1）連接OD，
∵DE∥OC，
∴∠DEB=∠COB，∠DOC=∠ODE．
∵∠ODE=∠OED，
∴∠DOC=∠BOC．
∵OD=OD，OC=OC，
∴∠CDO=∠CBO=90°．
∴∠ODA=90°．
∴AC是⊙O的切線．

解：（2）設半徑為x，則x²+4=（x+1）²
∴x=1.5
∴AB=4．
∵BC=CD，
∴CD²+16=（CD+2）²
∴CD=3．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．