Question

（2010•泰安）如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，E是AC邊上一點，且滿足AD=AB，∠ADE=∠C．
（1）求證：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；
（2）求證：AB²=AE•AC．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三角形的內角和定理可證∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；
（2）根據相似三角形的判定，由AA可證△ADE∽△ACD，得到，即AD²=AE•AC．又AB=AD，即證AB²=AE•AC．
解答：證明：（1）在△ADE和△ACD中，
∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE，
∴∠AED=180°-∠DAE-∠ADE，
∠ADC=180°-∠DAE-∠C，
∴∠AED=∠ADC．（2分）
∵∠AED+∠DEC=180°，
∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠DEC=∠ADB，
又∵AB=AD，
∴∠ADB=∠B，
∴∠DEC=∠B．（4分）

（2）在△ADE和△ACD中，
由（1）知∠ADE=∠C，∠AED=∠ADC，
∴△ADE∽△ACD，（5分）
∴，
即AD²=AE•AC．（7分）
又AB=AD，
∴AB²=AE•AC．（8分）
點評：本題考查了三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，相似三角形的判定等知識點，難度適中．