Question

有10位乒乓球選手進(jìn)行單循環(huán)賽(每兩人間均比賽一場)，用x₁、y₁順次表示第一號選手勝與負(fù)的場數(shù)；用x₂、y₂順次表示第二號選手勝與負(fù)的場數(shù)，…，用x₁₀、y₁₀順次表示第10號選手勝與負(fù)的場數(shù)，求證：＋…＋＋…＋．

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵(＋…)－(＋…＋) 　　＝()＋()＋…＋() 　�。�(x1＋y1)(x1－y1)＋(x2＋y2)(x2－y2)＋…＋(x10＋y10)(x10－y10) 　�。�9(x1－y1)＋9(x2－y2)＋…＋9(x10－y10) 　�。�9[(x1＋x2＋…＋x10)－(y1＋y2＋…＋y10)]， 　　又∵每位選手的勝場數(shù)之和與負(fù)場數(shù)之和相等． 　　∴原式＝0，即＋…＋＋…＋． 　　說明：顯然x1，y1，x2，y2，…，x10，y10是未知的，不確定的，但x1＋y1，x2＋y2，…，x10＋y10卻是一個定值，即每位選手勝、負(fù)的場數(shù)和為定值9，應(yīng)從此入手．本題要證兩者相等，轉(zhuǎn)化為證兩者之差為零，即采用作差法求解；本題在變化之中隱含著兩個不變量每位選手的勝負(fù)場數(shù)和每位選手的比賽場數(shù)相等，所有選手的勝場數(shù)和與負(fù)場數(shù)和相等，這就是解決本題的關(guān)鍵所在．