Question

如圖，BC是⊙O的切線，⊙O的弦AB⊥OC于E，延長BO、CA交于點P，PB與⊙O交于點D．
（1）求證：AC是⊙O的切線．
（2）求證：2PD•BC=PA•DB．
（3）如果PA=

5

，⊙O的半徑為2，設∠ABP=α，求tanα的值．

Answer 1

分析：（1）連接OA，由BC為圓的切線，利用切線的性質得到OB垂直于BC，由OA=OB，AB垂直于OC，利用三線合一得到OC為角平分線，得到一對角相等，再由OC為公共邊，利用SAS得到三角形ACO與三角形BCO全等，由全等三角形的對應角相等及垂直的定義得到OA垂直于AC，即可得證；
（2）由弦切角等于夾弧所對的圓周角得到一對角相等，再利用同角的余角相等，等量代換得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到AD與OC平行，由平行得比例，將AC換為BC，OD換為BD的一半，變形即可得證；
（3）由切割線定理列出關系式，將PA與BD長代入求出PD的長，代入（2）的結論中求出BC的長，在直角三角形OBC中，由OB與BC的比值即可求出所求．

解答：（1）證明：連接OA，
∵BC為圓O的切線，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC，
在△AOC和△BOC中，

OA=OB ∠AOC=∠BOC OC=OC

，
∴△AOC≌△BOC（SAS），
∴∠OAC=∠OBC=90°，
則AC為圓O的切線；
（2）證明：由題意得：∠PAD=∠ABO，
∵∠ABO+∠EOB=90°，∠EOB+∠OCB=90°，
∴∠ABO=∠OCB，
∵△AOC≌△BOC
∴∠OCA=∠OCB，AC=BC，
∴∠PAD=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴

PD

OD

=

PA

AC

，即

PD

1 2 BD

=

PA

BC

，
則2PD•BC=PA•DB；
（3）∵PA為圓的切線，PBD為割線，
∴PA²=PD•PB，
又PA=

5

，⊙O的半徑為2，
∴5=PD（PD+4），
∴PD=1或PD=-5（舍去），
∵2PD•BC=PA•DB，
∴BC=2

5

，
則tanα=tan∠ABP=tan∠OCB=

OB

BC

=

2

2 5

=

5

5

．

點評：此題考查了切線的性質與判定，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，切割線定理，以及平行線的判定與性質，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．