Question

已知點(diǎn)A(－1，1)在拋物線y＝(k2－1)x2－2(k－2)x＋1的圖象上，求 (1) 拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)． (2) 若點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，問(wèn)是否存在與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)B的直線，若存在，求出符合條件的直線，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

∵點(diǎn)A(－1，1)在拋物線 　　y＝(k2－1)x2－2(k－2)x＋1上 　　∴ 　　解得k＝－3 　　∴拋物線的解析式為y＝8x2＋10x＋1 　　對(duì)稱軸為直線x＝－頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－，－)

(2)

∵點(diǎn)B與點(diǎn)A(－1，－1)關(guān)于直線x＝－對(duì)稱 　　∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－，－1) 　　設(shè)過(guò)B的直線為y＝mx＋n．則－1＝－m＋n． 　　即m－kn＝4 　　又∵直線y＝mx＋n與拋物線y＝8x2＋10x＋1只有一個(gè)公共點(diǎn)B． 　　∴方程組只有一個(gè)解 　　代入整理得8x2＋(10－m)x＋1－n＝0 　　∴Δ＝0即(10－m)2－32(1－n)＝0 　　∴m＝0　　n＝ 　　∴y＝6x＋ 　　又因?yàn)楫?dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(－，－1)且與y軸平行時(shí)，直線與拋物線也只有一個(gè)交點(diǎn)． 　　∴直線x＝－也符合條件． 　　∴符合條件的直線有兩條：y＝6x＋或x＝－ 　　解析：本例考查拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸及拋物線與直線的位置關(guān)系．